Au cours des dernières années, l'usage d'opérateurs dynamiques "non standard" (non rationnels dans le cas linéaire) s'est fortement répandu dans de nombreuses disciplines (voir par exemple [61], dans le cas particulier des opérateurs intégrodifférentiels fractionnaires). Au plan physique, ceci est principalement dû à la nature répartie des phénomènes à l'échelle microscopique, dont l'expression au niveau macroscopique fait surgir, à partir d'un certain niveau de précision, des comportements complexes, fortement conditionnés par les diverses géométries, inhomogénéités, etc. L'intérêt de tel opérateurs semble désormais acquis; on peut mentionner en particulier:

• ils apparaissent dans nombre de problèmes de modélisation: rhéologie des polymères ou élastomères - visco-élasticité [78], acoustique [58], [74], combustion [8], [48], électrochimie [40], composants électroniques [42], micro-ondes [82], économétrie [27], etc. Ces opérateurs sont en outre potentiellement variable (effet des non-linéarités lors des grandes déformations). Des opérateurs non standard apparaissent également de façon naturelle en électromagnétisme (milieux polarisables) [10].
• en automatique, leur richesse peut être mise à profit pour construire des solutions difficilement accessibles par les opérateurs standard: ainsi, par exemple, des contrôles robustes au sens de l’invariance ou pseudo-invariance sous groupe de transformation peuvent être construits grâce à l'utilisation de compensateurs de dimension infinie [13], [33], [34], en particulier lorsque l'on quitte le cadre des idéalisations asymptotiques.
• dans le domaine des signaux et de leur traitement, l'omni-présence d'objets fractals d'une part, de bruits non standard d'autre part (mouvements browniens fractionnaires) rend ce type d'opérateurs incontournables malgré leur nature non markovienne a priori pénalisante: analyse stochastique [31], bruits de composants électroniques [76], filtrage [18], finances [75], fractals [3]. Les bruits de composants électroniques peuvent présenter un spectre non standard dépendant de la température, donc a priori variable [25], [76]. Ou encore, dans le domaine de l'aérodynamique, les bruits de turbulence (phénomène multi-dimensionnel de nature fractale) présentent des inter-spectres complexes, dont l'expression est basée sur des fonctions spéciales (fonctions de Bessel modifiées par exemple) [46], [47].
• des opérateurs non standard variés apparaissent également dans l'expression de l'impédance caractéristique de certains milieux propagatifs (poutres flexibles), donc aussi dans l'expression des conditions d'adaptation d'impédance, concept fort utile dans la conception de feedbacks absorbants à la fois robustes et performants [69], [84], ou encore dans la simulation numérique de signaux et phénomènes propagatifs en domaine infini. Il en est de même dans le cas de problèmes de contrôle d'EDP abordés par des approches plus algébriques [39], [53]. Dans le cas de systèmes propagatifs multi-dimensionnels (ou monodimensionnels prenant en compte certains aspects dissipatifs ou dispersifs réalistes), les conditions de transparence ou d'adaptation d'impédance s'expriment au moyen d'opérateurs ''temps-espace'' plus complexes [11], [26],[36].
• etc.

Un cadre mathématique particulièrement adapté à ces situations est celui des opérateurs dits ''pseudo-différentiels'' (OPD) [4]: ''Les opérateurs pseudo-différentiels permettent de plonger les opérateurs différentiels dans une algèbre où se trouvent aussi leurs paramétrix. Ils jouent ainsi le rôle qui est, pour les opérateurs à coefficients constants, celui de la convolution'' (M. Zerner, Encyclopédie Universelle, chapitre ''équations aux dérivées partielles'', page 197).

Les OPD peuvent être interprétés comme généralisation des opérateurs différentiels, essentiellement sur trois points:

• l'extension aux aspects temps-espace sur Rn ou des variétés régulières,
• l'extension à des fonctions très générales des variables symboliques,
• la variabilité (opérateurs non convolutifs).

Bien évidemment, le cadre pseudo-différentiel n'épuise pas tous les opérateurs, mais est assujetti à certaines hypothèses spécifiques, énoncées sur la base de considérations physiques. Ce cadre constitue en fait une extension naturelle des transferts standard (rationnels), du fait de leur propriété (fondamentale) ''pseudo-locale'', qui exprime la régularité du noyau (Ainsi, les retards purs ne sont pas des opérateurs pseudo-différentiels). Cette distinction qualitative entre OPD et retards est de même nature que la distinction classique en edp, entre systèmes paraboliques (diffusions) et systèmes hyperboliques (propagations à vitesse bornée). Il n'est donc pas surprenant que, de même que l'équation des ondes joue un rôle central par rapport aux retards purs, les diffusion s'avèrent fort utiles dans la description et la manipulation de nombre d'OPD.

Loin de constituer une " généralisation gratuite ", ce concept permet une grande souplesse pour les problèmes précédemment évoqués, ce pour les raisons suivantes :

• la classe des OPD possède une structure mathématique riche (algèbre). Cela permet beaucoup de souplesse, tant du point de vue algébrique que topologique et numérique.
• les transferts rationnels stables sont contenus dans cette classe (compatibilité parfaite avec les dynamiques standard).
• un outil de représentation spécifique (représentation diffusive [70]) permet de construire notamment des schémas d'approximation numérique simples et efficaces (cadre hilbertien).

En résumé, par sa structure algébrico-topologique souple et bien adaptée à l'analyse, l'approximation et la simulation, la classe des opérateurs pseudo-différentiels permet d'aborder dans un cadre unifié une grande variété de problèmes non standard très actuels.

Divers problèmes ont d'ores et déjà été abordés avec succès (en analyse, approximation, contrôle, identification, modélisation stochastique,...) affirmant ainsi la légitimité du présent projet d'un point de vue concret (voir le programme de recherche et les références citées).

Ce projet réalise une jonction entre divers concepts actuels. En effet, indépendamment des questions de modélisation-identification de phénomènes physiques et de signaux non standard, si l'on se place dans un contexte étendu aux modèles à paramètres répartis (diffusions, propagations, écoulements,...), les notions d'OPD et de représentation diffusive établissent une passerelle naturelle entre les concepts de robustesse (Hinfini, H2), de passivité, d'adaptation d'impédance, de contrôle optimal et de modèles AR-ARMA:

• dans le cadre des compensateurs pseudo-différentiels, la notion de pseudo-invariance peut aisément être reliée aux contextes standard: Hinfini, H2 [68].
• l'adaptation d'impédance pour les systèmes de propagation (ou condition de frontière non réfléchissante) s'exprime systématiquement au moyen d'OPD et conduit à des feedbacks frontière absorbants conférant au système bouclé la propriété de passivité globale, donc robustes par nature. Un autre avantage considérable de cette approche est lié à la ''localité'' de la notion d'impédance, qui permet de ''faire abstraction'' du domaine, en ne considérant, pour l'établissement d'un feedback stabilisant, que l'équation (locale) de propagation [69], [72], [84]. De tels feedbacks apparaissent de même dans la stabilisation d'EDP optimale au sens de Hinfini (étroitement liée, dans le cas de la stabilisation frontière de systèmes propagatifs, à la notion d'onde réfléchie) [63].
• des lois de commande en boucle fermée, à la fois optimales en poursuite et de nature passive quant à la régulation (adaptées en impédance ou simplement dissipatives) sont concrètement réalisables par feedbacks diffusifs dissipatifs, ce grâce à la richesse dynamiques de ces compensateurs de nature héréditaire [80], [81].
• dans le cadre des signaux à mémoire longue (par exemple bruit en 1/f, signaux bi-dimensionnels de turbulence), la représentation diffusive permet d'établir un lien direct avec une famille continuement indexée de processus auto-régressifs élémentaires, lien permettant la construction de modèles markoviens, utile tant en synthèse qu'en analyse [23], [24], [47], [50], [76].
• une classe étendue d'opérateurs de Volterra non-linéaires peut être réalisée sous forme de représentation diffusive étendue en sortie par produit tensoriel, ce qui permet d'établir un lien direct avec certaines techniques de filtrage non linéaire [67].
  
  

Enfin, sous forme de représentation (d'état) diffusive (en dimension nécessairement infinie), les OPD sont bien adaptés aux approches constructives (sous approximation) des problèmes de commande, filtrage etc., dans un cadre étendu aux aspects temps-variables ou non-linéaires [8]: méthodes d'énergie-Lyapunov, adaptatif, Kalman étendu, Volterra.

Novembre 1999