Séminaire Toulousain Rda

Représentation Diffusive et applications

LAAS/CNRS
7, avenue du Colonel Roche
31077 Toulouse cedex 4

contact
Gérard Montseny (LAAS/CNRS)
Tél. : 05 61 33 63 10

Ce séminaire, subventionné par le LAAS du CNRS, s’inscrit dans le contexte plus général du projet multidisciplinaire national intitulé " Opérateurs Pseudo-Différentiels et Représentation Diffusive en modélisation, contrôle et signal ", soutenu par le Ministère de la Recherche sous le parrainage de l'ASTI, du GdR ISIS du CNRS, et de l’INRIA.

---> Filipe-André Devy-Vareta nous a quittés

---> Workshop OPD-RD : Représentation diffusive et applications - homage à Filipe-Andre Devy Vareta, Toulouse, 24 octobre, 2002

Laboratoires toulousains 
LAAS/CNRS
MIP/CNRS - UPS
LGET/CNRS - UPS
LSP/CNRS - UPS
CERT/ONERA 
CIMI - ENSAE 
LEN7 - ENSEEIHT 
CERFACS

Programme 2003 (non définitif)

Les " comptes rendus " sont édités annuellement sous forme d’un volume où sont rassemblés les articles relatifs aux conférences données dans l’année. Ils sont envoyés sur simple demande (CD ou papier).

No 3 – Décembre 2002 (Actes du workshop RDa-OPD/RD) - Avant-propos
Sur quelques questions à propos de l'analyse sous représentation diffusive, J. Audounet
Contrôle robuste au sens de la pseudo-invariance dynamique : principe et applications, F.-A. Devy-Vareta, G. Montseny
Poursuite optimale sous représentation diffusive, L. Laudebat
A new class of integral equations for scattering problems, D. Levadoux, B. Michielsen
Réalisation et réduction optimale de systèmes linéaires sous forme treillis, A. Monin
Sur un principe de suspension semi-active d'ordre non entier (résumé), G. Montseny
Identification de processus à interspectres non rationnels, Ph. Mouyon

No 2 – Décembre 2001
Représentations diffusives, discrétisations, semi-discrétisation (résumé), J.Audounet & G.Montseny
Le contrôle actif en mécanique des fluides (résumé), B.Cuenot
Identification et poursuite optimales de dynamiques non standard (résumé), L.Laudebat & P.Bidan
Exemple d'application du calcul pseudo-différentiel (résumé), D.Levadoux
Théorème d'invariance en contrôle non linéaire robuste (résumé), G.Montseny
Suspension automobile et invariance dynamique (résumé), G. Montseny & P.Bidan
Contrôle diffusif d’un bras flexible (résumé), H.Tebbikh & B.Boudjehem

No 1 – Novembre 2000 - Avant-propos
Analyse asymptotique d’équations de Volterra à mémoire longue (résumé), J.Audounet & G.Montseny
0pérateurs pseudo-différentiels et représentations diffusives en Génie Electrique (résumé), P.Bidan
Pseudo-invariance sous groupe de transformations (résumé), F.-A.Devy Vareta
Stabilité des EDF non linéaires: approche diffusive (résumé), D.Matignon
Représentation diffusive : éléments et extensions (résumé), G.Montseny
Sur une classe d'opérateurs d'hystérésis pseudo-différentiels (résumé), M.Sorine

Membres du séminaire
Bibliographie relative à la représentation diffusive

Liens
Séminaire MIP
Séminaire LSP
Séminaires CERFACS
Séminaires LAAS

Programme 2003

Hélène Rouzaud (MIP/CNRS)
Dynamiques d'un modèle de flamme en boule avec pertes de chaleur

Fabienne Comte (Jussieu)
Modélisation économétrique et financière et opérateurs différentiels fractionnaires

Laure Coutin (LSP/CNRS)

G. Montseny (LAAS/CNRS)
Résolution diffusive de problèmes non causaux: introduction et exemple

Christophe Besse, Xavier Antoine (MIP/CNRS)

Claude Depollier (LAUM, Le Mans)

J. Audounet (MIP/CNRS), G. Montseny (LAAS/CNRS)
Caractérisation de la positivité d'OPD diffusifs

Programme 2001

Hichem Tebbikh (LAIG - Guelma, Algérie)
Contrôle diffusif d’un bras articulé flexible
15 Novembre, 14h, LAAS, salle Carlit

Lionel Laudebat (LGET/CNRS)
Identification et poursuite optimales de dynamiques non standard en génie électrique
26 Février, 15h, LAAS, salle Carlit

David Levadoux (CERT/ONERA)
Analyse pseudo-différentielle de conditions aux bords pour l’absorption des ondes et application aux problèmes de diffraction en acoustique et électromagnétisme
14 Mars,14h, LAAS, salle Carlit

Gérard Montseny (LAAS/CNRS)
Formulation géométrique générale et résultat fondamental d'invariance pour la commande robuste
18 Avril, 14h, LAAS, salle Carlit

Bénédicte Cuenot (CERFACS)
Quelques problèmes de contrôle, instabilité et optimisation rencontrés en mécanique des fluides
30 Mai 14h, LAAS, salle Tourmalet

Jacques Audounet (MIP/CNRS), & Gérard Montseny (LAAS/CNRS)
Representations diffusives, discretisations, semi-discretisation
27 Juin 2001 14h, LAAS, salle Carlit

Gérard Montseny (LAAS/CNRS) & Pierre Bidan (LGET/CNRS)
Suspension automobile et invariance dynamique: analyse de quelques solutions
12 décembre 2001

Programme 2000

Filipe-André Devy-Vareta (LAAS/CNRS)
Pseudo-invariance sous groupe de transformations : un nouveau concept pour la commande robuste
7 février 2000 - 14h - LAAS, Salle Tourmalet

Pierre Bidan (LGET/CNRS)
0pérateurs pseudo-différentiels et représentations diffusives en Génie Electrique : exemple des bobinages à noyau de fer
27 mars 2000 - 14h - LAAS, Salle Vignemale

Michel Sorine (INRIA Rocquencourt)
Sur une classe d'opérateurs d'hystérésis pseudo-différentiels: point de vue de la théorie des systémes
10 avril 2000 - 14h - LAAS, Salle de Conférences

Gérard Montseny (LAAS/CNRS)
Représentation diffusive : éléments et extensions
15 mai 2000 - 14h - LAAS, Salle Vignemale

Denis Matignon (ENST/CNRS Paris)
Stabilité des EDF non linéaires: approche diffusive
19 juin 2000 - 14h - LAAS, Salle Vignemale

Jacques Audounet (MIP/CNRS) & Gérard Montseny (LAAS/CNRS)
Analyse asymptotique d’équations de Volterra à mémoire longue sous formulation diffusive
Juillet 2000

PSEUDO-INVARIANCE SOUS GROUPE DE TRANSFORMATIONS : UN NOUVEAU CONCEPT POUR LA COMMANDE ROBUSTE
Filipe-André DEVY VARETA, LAAS/CNRS

Lors de l'elaboration de lois de commande, le probleme de "robustesse"consiste a prendre en compte les imperfections du modele considere (parametres incertains, mal connus ou lentement variables, dynamiques negligees, etc.), de facon a aboutir a un feedback garantissant une "qualite de commande" suffisante pour toute la classe de modeles definie par le "domaine (compact) d'incertitude". Il s'agit alors de concilier au mieux  deux aspects antinomiques par nature: la performance et la stabilite.

Les approches sont nombreuses. La plupart du temps, le feedback est choisi dans une classe de dimension finie (systemes differentiels). Pourtant, un tel probleme peut legitimement se poser en dimension infinie, du fait que, de facon generale, l'ensemble des modeles consideres est un continuum (indexe par les parametres incertains qui decrivent un compact de R^n).  On presente un nouveau concept de robustesse conduisant systematiquement a des feedbacks pseudo-differentiels, determines par optimisation d'une fonctionnelle definie sur un espace de Hilbert, construite en fonction des specificites du probleme. Le principe est base sur l'introduction d'une transformation conforme (optimale) dont l'effet est de faire "coincider au mieux" l'ensemble des reponses (pour chaque modele de l'ensemble d'incertitude) avec LA reponse du systeme dit "nominal". Ce faisant, "a cette transformation pres" (dont les caracteristiques determinent la nature de la robustesse), les reponses ont des formes analogues, ceci constituant en fait la definition de la robustesse au sens de la "pseudo-invariance": "l'analogie de forme" de toutes les reponses garantit a la fois performance et stabilite pour le systeme incertain commande. Cette forme globale est quant a elle determinee automatiquement, par proximite optimale a une "forme de reference", definie par la reponse du systeme nominal boucle par un compensateur classique (PID, optimal,...) prealablement choisi (pb classique).

La formulation mathematique est simple et de portee generale, elle est similaire a celle d'un probleme de reconnaissance de forme. La resolution effective passe par la representation diffusive (du compensateur), qui devient en fait l'inconnue du probleme. Le compensateur optimal en decoule ensuite directement, sous forme explicite d'equation d'etat entree-sortie. La dimension n d'un compensateur approche est choisie librement, ce choix n'ayant qu'une influence minime sur le resultat final, pourvu que n soit assez grand (convergence de l'approximation).

A noter que les notions de poles et zeros ne jouent ici aucun role privilegie, le cadre mathematique sous-jacent n'etant plus celui des fonctions rationnelles. Quelques resultats fondamentaux sont enonces (theoremes). Des exemples concrets (resolution numerique) sont presentes et commentes.

0PERATEURS PSEUDO-DIFFERENTIELS ET REPRESENTATION DIFFUSIVE EN GENIE ELECTRIQUE: QUELQUES EXEMPLES
Pierre BIDAN, Laboratoire de Genie Electrique de Toulouse

La prise en compte des effets de peau (par exemple les pertes par courants de Foucault) au sein de machines électriques ou de transformateurs fonctionnant en régime transitoire, permet une meilleure description de leur comportement dynamique. Ces pertes sont régies par des équations aux dérivées partielles de type diffusion, dont la résolution numérique s'effectue classiquement par la méthode des éléments finis qui devient vite très lourde, de par la complexité des géométries rencontrées.

Dans la mesure où l'on vise un modèle comportemental du dispositif vis à  vis, par exemple, de la source d'alimentation électrique, et non une description dans l'espace des phénomènes internes, l'approche par opérateurs   entrée-sortie, de type fonction de transfert, est une autre voie possible. Se pose alors le problème du passage du domaine symbolique (ou de Laplace) de l'opérateur, au domaine temporel. En effet, ces opérateurs sont non-rationnels, de type pseudo-différentiel, et leur simulation dans le domaine temporel, sans faire appel à des méthodes pénalisantes sur le plan du calcul et de la mémoire telles que la convolution ou la FFT, n'est pas triviale.

Le concept de "représentation diffusive" permet leur réalisation dynamique sous forme de représentation d'état standard. A travers l'exemple simple d'une bobine à noyau de fer, on montre d'abord comment on peut obtenir une approximation d'admittance non rationnelle sous la forme d'un modèle d'état de dimension réduite. Cette approche est ensuite étendue au cas de la propagation de fronts de tension dans les bobinages d'une machine tournante.  Les résultats de simulation numérique obtenus selon cette approche sont comparés aux mesures physiques.

SUR UNE CLASSE D'OPERATEUR D'HYSTERESIS PSEUDO-DIFFERENTIELS: POINT DE VUE DE LA THEORIE DES SYSTEMES ET APPLICATIONS
Michel SORINE, INRIA - Rocquencourt

On présente une classe d'opérateurs d'hystérésis différentiels qui, après un changement de la variable temps, admettent une représentation d'état linéaire. Cette structure permet l'utilisation de concepts et méthodes de l'Automatique, ce qui peut être utile dans plusieurs applications. Par exemple, il est possible d'expliciter les conditions de dissipativité nécessaires pour représenter certains frottements secs. Cet exemple illustre aussi une façon de généraliser à des hystérésis à valeurs vectorielles. On montrera comment cela s'utilise dans le cas du contact pneu-sol. La modélisation de la contraction musculaire est un autre exemple d'utilisation pour lequel on comprend l'origine physique de ces modèles : ils peuvent s'interpréter comme des équations de moments et représenter l'effet d'un changement d'échelle, ici passage du niveau de la molécule à celui de la cellule contractile.

Chaque fois les modèles obtenus sont de taille réduite et faciles à utiliser comme éléments de simulateurs par exemple.

REPRESENTATION DIFFUSIVE: BASES ET EXTENSIONS
Gerard MONTSENY, LAAS/CNRS

Sous sa forme la plus basique, la représentation diffusive peut être décrite très simplement: le symbole "diffusif" d'un opérateur pseudo-différentiel est défini comme solution d'une certaine équation intégrale (au sens des distributions). Il en découle directement qu'un opérateur pseudo-différentiel admettant un symbole diffusif peut être réalisé sous la forme d'une équation aux dérivées partielles entrée-sortie (réalisation diffusive). Cette propriété permet alors d'utiliser les outils et techniques standard de l'analyse fonctionnelle et numérique, en particulier les méthodes d'énergie, particulièrement bien adaptées.

Dans le cas fondamental d'opérateurs convolutifs réguliers (exemple type des opérateurs intergro-différentiels fractionnaires), le symbole diffusif est simplement la transformée de Laplace inverse de la réponse impulsionnelle. L'existence (explicite) d'un produit interne continu (noté #), image du produit de composition des opérateurs, confère a l'ensemble des symboles diffusifs une structure d'algèbre de Fréchet de distributions tempérées.  Diverses extensions permettent d'en élargir considérablement le champ d'application, conduisant toujours à des réalisations d'état d'approximation aisée: opérateurs non convolutifs (systèmes linéaires temps-variables), opérateurs "oscillants" à mémoire longue, opérateurs "temps-espace" (indispensables en EDP), opérateurs non linéaires (hystérésis, Volterra...)

On propose une présentation synthétique de l'approche RD, suivie d'un tour d'horizon des extensions et applications autour de ce concept.

REPRESENTATIONS DIFFUSIVES SEMI-LINEAIRES DE SYSTEMES PSEUDO-DIFFERENTIELS NON LINEAIRES
Denis MATIGNON, ENST - Paris

On propose un nouveau resultat de stabilite pour les equations differentielles fractionnaires ou plus generalement pseudo-differentielles non-lineaires, en s'inspirant d'un resultat connu de stabilite du systeme linearise autour d'un point d'equilibre ; il s'agit en quelque sorte d'une version etendue au cadre pseudo-differentiel, du theoreme classique de Hartman-Grobman pour les systemes dynamiques ordinaires.

L'utilisation de la representation diffusive d'operateurs pseudo-differentiels est tres utile : elle permet de reformuler le probleme initial d'une facon plus souple et mieux adaptee a l'analyse (de plusieurs facons equivalentes, en fait), a savoir une equation de diffusion semilineaire dans un espace d'etat de Hilbert approproprie. Contrairement a la formulation initiale, les methodes d'energie sont alors directement applicables (fonctions de Lyapunov, principe d'invariance de LaSalle).

Au cours de cet expose seront proposees et discutees diverses reformulations equivalentes du probleme, d'ou nous deduirons des conditions de stabilite. Des questions et problemes ouverts seront egalement abordes.

ANALYSE ASYMPTOTIQUE D’EQUATIONS DE VOLTERRA A MEMOIRE LONGUE SOUS FORMULATION DIFFUSIVE
Jacques AUDOUNET (MIP/CNRS) et Gérard MONTSENY (LAAS/CNRS)

On étudie la stabilité asymptotique d'équations de Volterra non-linéaires avec noyau a mémoire longue, au moyen d'une formulation diffusive du problème. L'étude asymptotique repose sur un lemme spécifique de comparaison pour cette formulation diffusive.

CONTROLE DIFFUSIF D'UN BRAS ARTICULE FLEXIBLE
Hichem TEBBIKH, LAIG, Guelma (Algerie)

Les systemes flexibles, comme par exemple les poutres vibrantes, presentent generalement un nombre important de modes vibrants peu amortis. Leur controle doit tenir compte des ecarts entre le modele et la realite (c'est a dire doit etre robuste), qui, dans ce contexte, peut donner lieu a une grande sensibilite, en particulier par les approches modales.

Une approche particulierement robuste car basee a la fois sur la notion de dissipativite et sur la description locale de l'EDP, est le controle par impedance adaptee. Dans le cas du modele d'Euler-Bernoulli, l'impedance adaptee est un operateur matriciel pseudo-differentiel faisant intervenir une derivation et une integration d'ordre 1/2.

La formulation diffusive de cet operateur conduit alors a un controle dynamique aisement realisable sous approximation en dimension finie. Par ailleurs, la condition initiale de la diffusion peut etre mise a profit pour la realisation d'un controle optimal a la fois dissipatif du point de vue de la boucle, et actif du point de vue de la consigne, realisant ainsi un compromis efficace entre robustesse et performance.

On presentera un tour d'horizon de cette approche originale, en mentionnant les problemes ouverts et les possibilites d'extensions.

En Genie électrique, la représentation diffusive permet en particulier de prendre en compte les phénomènes répartis liés aux pertes fer dans les noyaux magnétiques de bobinages. Moins lourde d un point de vue simulation que la résolution classique par les éléments finis, cette approche permet aussi d expliquer la répartition de tension entre les différentes spires d un bobinage d'un moteur électrique alimentée en MLI.

L approche présentée met en oeuvre une modélisation par représentation diffusive permettant une identification en ligne du symbole diffusif par un filtre de Kalman.

ANALYSE PSEUDO-DIFFERENTIELLE DE CONDITIONS AUX BORDS POUR L’ABSORPTION DES ONDES ET APPLICATION AUX PROBLEMES DE DIFFRACTION EN ACOUSTIQUE ET ELECTROMAGNETISME
David LEVADOUX (CERT/ONERA)

Le but de cet expose est de proposer une application de la theorie des operateurs pseudo-differentiels a la resolution numerique des equations de Helmholtz ou de Maxwell (en stationnaire).

On commence par s'interesser a la nature pseudo-differentielle des operateurs gouvernant les conditions de transparence aux frontieres d'un milieu. Pour ce faire, on realise l'analyse symbolique des projecteurs de Calderon relatifs aux equations de propagation de ce milieu. Les operateurs admittances de la frontiere devoillent alors une part importante de leur structure, plus precisement la nature des singularites au voisinage de la diagonale de leur noyau. Cette information a priori, que l'on possede sur des operateurs qui pourtant ne sont pas explicites, est ensuite prise en compte dans un formalisme integral destine a la resolution de problemes de diffraction. On montre que les equations qui en decoulent sont toujours bien posees, et ce pour n'importe quelle frequence.

Sur ces bases est decrite une technique de mise en oeuvre informatique dont les resultats sont compares aux performances d'equations plus classiques. Outre des proprietes de creusites des systemes lineaires lies a cette technique, on constate un tres bon conditionnement autorisant une resolution rapide par methode iterative.

Il est bien connu, depuis les travaux de S. Lie, E. Cartan, D. Hilbert et H. Poincaré, que l'invariance est une notion fondamentale dans de nombreux domaines de la physique ou des mathématiques. Dans certains cas, en particulier celui de la robustesse aux incertitudes, l'invariance au sens strict est trop contraignante: la "pseudo-invariance" (projection, au sens d'une métrique, d'invariants sur la variété définie par le système) réalise alors un compromis fertile. Dans le cas des systèmes dynamiques, les concepts de "système virtuel" et "commande fictive" sont naturellement induits, respectivement par l'espace métrique dans lequel est plongée la variété du "système incertain", et le groupe fondamental de transformations, spécifique au problème considéré.

Le groupe de symétries (qui définit l'invariance), est associé, quant à lui, au type de robustesse recherché, le tout conduisant à une formulation unifiée des problèmes de robustesse, notamment de l'automatique (linéaire ou non).

Dans le contexte de la commande en boucle fermée de systèmes dynamiques non linéaires incertains, on énonce ensuite un résultat fondamental qui permet, par le biais de la représentation diffusive, de déduire l'invariance des trajectoires (objectif "idéal" de robustesse), de l'invariance, au sens d'un groupe de transformations adéquat, du générateur du système avec compensateur dynamique. Cette caractérisation s'exprime de façon explicite et, surtout, concrètement utilisable tant en linéaire qu'en non linéaire, comme en attestent les exemples (simples mais non triviaux) présentés.

L'extension au concept de "pseudo-invariance" est ensuite immédiate (au moins dans son principe!). Elle débouche sur un problème d'optimisation numérique hors-ligne, dont la solution conduit directement au compensateur optimal sous forme d'équation d'état.

QUELQUES PROBLEMES DE CONTROLE, INSTABILITE ET OPTIMISATION RENCONTRES EN MECANIQUE DES FLUIDES
Bénédicte Cuenot (CERFACS)

De nombreux problemes d'instabilite et de controle existent en mecanique des fluides, avec ou sans combustion. On parlera principalement de deux exemples : les instabilites de combustion et le  controle actif des instabilites aeroacoustiques des cavites. On montrera la nature physique de ces instabilites et des couplages mis en oeuvre, et on donnera quelques elements sur les approches utilisees en CFD pour les etudier.

Representations diffusives, discretisations, semi-discretisation
Jacques Audounet (MIP/CNRS)

On rassemble ici les approximations de representations diffusives d'o.p.d. 1D et les techniques d'analyse de ces approximations. Cette synthese, principalement orientee outils de stabilite et etude de convergence, s'accompagne d'un inventaire des difficultes a priori previsibles dans les cas non lineaires

Membres du séminaire

H. Aubert, aubert@len7.enseeiht.fr
J. Audounet, audounet@mip.ups-tlse.fr
P. Bidan, bidan@lget.ups-tlse.fr
J.L. Calvet, calvet@laas.fr
Ph Carmona, carmona@cict.fr
C. Neacsu, claudiu@lget.ups-tlse.fr
L. Coutin, coutin@cict.fr
B. Cuenot, Benedicte.Cuenot@cerfacs.fr
P. Danès, Patrick.Danes@laas.fr
K. Domolevo, komla@mip.ups-tlse.fr
F.-A. Devy-Vareta, dvareta@laas.fr
D. Henrion, henrion@laas.fr
N. Imbert, Nicole.Imbert@cert.fr
P. Laborde, laborde@mip.ups-tlse.fr
L. Laudebat, lionel.laudebat@lget.ups-tlse.fr
F. Lavernhe, lavernhe@supaero.fr
T. Lebey, lebey@lget.ups-tlse.fr
D. Levadoux, David.Levadoux@onecert.fr
P. Mazet, Pierre.Mazet@cert.fr
A. Monin, monin@laas.fr
G. Montseny, montseny@laas.fr
Ph. Mouyon, Philippe.Mouyon@cert.fr
L. Plantié, Laurent.Plantie@dcu.ie
G. Salut, salut@laas.fr